آکادمی ریاضی 789

نشان دهید در هر مثلث متساوی الساقین، فاصلهٔ هر نقطهٔ دلخواه روی نیمساز زاویهٔ رأس از دو سر قاعده، برابر است:MB=MC

ابتدا نشان می دهیم دو مثلث \overset{\triangle}{AMB}و \overset{\triangle}{AMC}با هم ، هم نهشت هستند.

با توجه به شکل هم نهشتی دو مثلث را نشان می دهیم.

\begin{cases}\overline{AB}=\overline{AC}\cr \hat{A}_1=\hat{A}_2 \cr \overline{AM}=\overline{AM}\end{cases}\Longrightarrow \overset{\triangle}{AMB}\overset{\sim}{=}\overset{\triangle}{AMC}

دو مثلث به حالت دو ضلع و زاویه بین هم نهشت هستند.

در مستطیل ABCD، پاره خط های BEو AFطوری رسم شده که دو زاویهٔ A_1و B_1برابرند. ثابت کنید BEو AFمساوی اند.

ابتدا نشان می دهیم دو مثلث \overset{\triangle}{ADF}و \overset{\triangle}{BEC}با هم ، هم نهشت هستند.

می دانیم که در مستطیل :

• ضلع های روبرو با هم برابر هستند.
• اندازه هر زاویه برابر 90 \degree است.

دو زاویه ی \hat{A}_2=\hat{B}_2با توجه به استدلال زیر برابر هستند.

\begin{matrix}\hat{A}=\hat{B}\cr \hat{A}_1=\hat{B}_1 \end{matrix}\Bigg\rbrace\Longrightarrow \boxed{\hat{A}_2=\hat{B}_2}

با توجه به شکل هم نهشتی دو مثلث را نشان می دهیم.

\begin{cases}\hat{A}_2=\hat{B}_2 \cr \overline{AD}=\overline{BC}\cr \hat{D}=\hat{C}\end{cases}\Longrightarrow \overset{\triangle}{ADF}\overset{\sim}{=}\overset{\triangle}{BEC}

دو مثلث به حالت دو زاویه و ضلع بین هم نهشت هستند.

در شکل مقابل، مثلث ABCمتساوی الساقین است و Mو Nروی قاعدهٔ BCطوری قرار دارند که BM=NC
نشان دهید مثلث AMNهم متساوی الساقین است.

ابتدا نشان می دهیم دو مثلث \overset{\triangle}{ABM}و \overset{\triangle}{ACN}با هم ، هم نهشت هستند.

می دانیم که در مثلث متساوی الساقین :

• دو ساق با هم برابر هستند.
• دو زاویه مجاور به قاعده با هم برابر هستند.

با توجه به شکل هم نهشتی دو مثلث را نشان می دهیم.

\begin{cases}\overline{AB}=\overline{AC}\cr \hat{B}=\hat{C}\cr \overline{BM}=\overline{NC}\end{cases}\Longrightarrow \overset{\triangle}{ABM}\overset{\sim}{=}\overset{\triangle}{ACN}

دو مثلث به حالت دو ضلع و زاویه بین هم نهشت هستند.

در شکل مقابل Oمرکز دایره است و BCو ADبر دایره مماس اند، نشان دهید که ADو BCبرابرند.

ابتدا نشان می دهیم دو مثلث با هم ، هم نهشت هستند.

می دانیم که :

• در دایره شعاع ها با هم برابرند.
• شعاع دایره در نقطه ی تماس ، بر خط مماس عمود است.

حالا با توجه به شکل هم نهشت بودن دو مثلث را نشان می دهیم.

\begin{cases}\hat{A}=\hat{B}\cr \overline{OA}=\overline{OB}\cr \hat{O}_1=\hat{O}_2 \end{cases}\Longrightarrow \overset{\triangle}{AOD}\overset{\sim}{=}\overset{\triangle}{BOC}

دو مثلث بنا به حالت دو زاویه و ضلع بین هم نهشت هستند.

در شکل مقابل ABCDمتوازی الاضلاع و Mو Nو Pو Qوسط های اضلاع متوازی الاضلاع اند، ثابت کنید:MN=PQ

ابتدا ثابت می کنیم که دو مثلث \overset{\triangle}{QDP}و مثلث \overset{\triangle}{MBN}با هم ، هم نشهت هستند.

چون در متوازی الاضلاع ضلع ها ی روبرو برابر هستند پس اگر آن ها را نصف کنیم ، نصف آن ها هم نیز با هم برابر است.
از طرفی زاویه های روبرو نیز در متوازی الاضلاع با هم باربر هست . پس خواهیم داشت:

\begin{cases}\overline{DQ}=\overline{BN}\cr \hat{D}=\hat{B}\cr \overline{DP}=\overline{BM}\end{cases}\Longrightarrow \overset{\triangle}{QDP}\overset{\sim}{=}\overset{\triangle}{MBN}

دو مثلث به حالت دو ضلع و زاویه بین هم نهشت هستند.