آکادمی ریاضی 789

الف) در شکل زیر، ضلع های روبه رو به هم در چهارضلعی با هم برابرند. چرا چهارضلعی مستطیل است؟

ب) شعاع دایره برابر 5و عرض مستطیل برابر \sqrt{19}سانتی متر است. طول مستطیل را به دست آورید.

مشخص می کنیم که چرا چهارضلعی مستطیل است .

می دانیم متوازی الاضلاعی که یک زاویه 90^\degreeداشته باشد. مستطیل نام دارد . پس :

1. چون ضلع های روبرو به هم با هم برابرند پس چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
2. زاویه Aمحاطی است . یعنی اندازه ی آن نصف کمان روبرویش که 180^\degreeاست. یعنی \hat{A}=\frac{\overgroup{BD}}{2}= \frac{180^\degree}{2}=\boxed{90^\degree}

با توجه به دلایل بالا چهارضلعی مستطیل است .

کاغذی مربعی شکل به قطر 24سانتی متر داریم. مطابق شکل، بزرگ ترین دایره ای را که می توانستیم روی آن رسم کردیم. قطر این دایره را حساب کنید.

با توجه به شکل قطر دایره برابر ضلع مربع است .با استفاده از رابطه ی فیثاغورس ضلع مربع را به دست می آوریم.

\begin{aligned}x^2+x^2&=24^2 \cr 2x^2&=576 \cr x^2&=288 \cr x&=\sqrt{288}\cr x& \simeq \boxed{17}\end{aligned}

با توجه به شکل روبه رو، اندازهٔ زاویه ها و کمان های زیر را بنویسید.

\hat{C}= \mathellipsis,C \hat{O}B=\mathellipsis,\overgroup{BC}= \mathellipsis

با توجه به خاصیت زاویه های مرکزی و محاطی به سوال پاسخ می دهیم.

چون دو شعاع از دایره اضلاع مثلث AOCهستند پس این مثلث متساوی السافیت می باشد . و دو زاویه مجاور به قاعده ی آن برابراست. پس :

\boxed{\hat{C}=30^\degree}

از طرفی زاویه Aیک زاویه محاطی است یعنی نصف کمان روبرویش ، پس اندازهٔ کمان روبرویش برابر :

\overgroup{BC}=2 \times 30^\degree= \boxed{60^\degree}

زاویه C \hat{O}B یک زاویه مرکزی است . پس برابر کمان روبرویش است . یعنی :

\boxed{C \hat{O}B=60^\degree}